Template:Seal sequences/formulas/Birch and Oak

$\mathrm{O}\mathrm{a}\mathrm{k}(n,k)=\sum _{i=0}^k\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(n-i,n-k)\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})$

$\begin{array}{ccc}\mathrm{O}\mathrm{a}\mathrm{k}(n,k)& =& \sum _{i=0}^k\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(n-i,n-k)\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\\ \\ \mathrm{O}\mathrm{a}\mathrm{k}(5,3)& =& \sum _{i=0}^3\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(5-i,5-3)\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{i})\\ 155& =& \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(5,2)\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{0})+\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(4,2)\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})+\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(3,2)\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})+\mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{h}(2,2)\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})\\ 155& =& 40\cdot 1+13\cdot 5+4\cdot 10+1\cdot 10\end{array}$