PlanetPhysics/Differential Propositional Calculus Appendix 1

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Table A1. Propositional Forms on Two Variables

Table A1 lists equivalent expressions for the [[../Predicate/|boolean functions]] of two variables in a number of different notational systems.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}

\multicolumn{7}{Table A1. Propositional Forms on Two Variables } \\ \hline ${ℒ}_1$ & ${ℒ}_2$ && ${ℒ}_3$ & ${ℒ}_4$ & ${ℒ}_5$ & ${ℒ}_6$ \\ \hline & & $x=$ & 1 1 0 0 & & & \\ & & $y=$ & 1 0 1 0 & & & \\ \hline $f_0$ & $f_{0000}$ && 0 0 0 0 & $()$ & $\mathrm{false}$ & $0$ \\ $f_1$ & $f_{0001}$ && 0 0 0 1 & $(x)(y)$ & $\mathrm{neither}x\mathrm{nor}y$ & $\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y$ \\ $f_2$ & $f_{0010}$ && 0 0 1 0 & $(x)y$ & $y\mathrm{without}x$ & $\mathrm{\neg }x\wedge y$ \\ $f_3$ & $f_{0011}$ && 0 0 1 1 & $(x)$ & $\mathrm{not}x$ & $\mathrm{\neg }x$ \\ $f_4$ & $f_{0100}$ && 0 1 0 0 & $x(y)$ & $x\mathrm{without}y$ & $x\wedge \mathrm{\neg }y$ \\ $f_5$ & $f_{0101}$ && 0 1 0 1 & $(y)$ & $\mathrm{not}y$ & $\mathrm{\neg }y$ \\ $f_6$ & $f_{0110}$ && 0 1 1 0 & $(x,y)$ & $x\mathrm{not~equal~to}y$ & $x\ne y$ \\ $f_7$ & $f_{0111}$ && 0 1 1 1 & $(xy)$ & $\mathrm{not~both}x\mathrm{and}y$ & $\mathrm{\neg }x\vee \mathrm{\neg }y$ \\ \hline $f_8$ & $f_{1000}$ && 1 0 0 0 & $xy$ & $x\mathrm{and}y$ & $x\wedge y$ \\ $f_9$ & $f_{1001}$ && 1 0 0 1 & $((x,y))$ & $x\mathrm{equal~to}y$ & $x=y$ \\ $f_{10}$ & $f_{1010}$ && 1 0 1 0 & $y$ & $y$ & $y$ \\ $f_{11}$ & $f_{1011}$ && 1 0 1 1 & $(x(y))$ & $\mathrm{not}x\mathrm{without}y$ & $x\Rightarrow y$ \\ $f_{12}$ & $f_{1100}$ && 1 1 0 0 & $x$ & $x$ & $x$ \\ $f_{13}$ & $f_{1101}$ && 1 1 0 1 & $((x)y)$ & $\mathrm{not}y\mathrm{without}x$ & $x\Leftarrow y$ \\ $f_{14}$ & $f_{1110}$ && 1 1 1 0 & $((x)(y))$ & $x\mathrm{or}y$ & $x\vee y$ \\ $f_{15}$ & $f_{1111}$ && 1 1 1 1 & $(())$ & $\mathrm{true}$ & $1$ \\ \hline

\end{tabular}

Table A2. Propositional Forms on Two Variables

Table A2 lists the sixteen Boolean functions of two variables in a different order, grouping them by structural similarity into seven natural classes.

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}

\multicolumn{7}{Table A2. Propositional Forms on Two Variables } \\ \hline ${ℒ}_1$ & ${ℒ}_2$ && ${ℒ}_3$ & ${ℒ}_4$ & ${ℒ}_5$ & ${ℒ}_6$ \\ \hline & & $x=$ & 1 1 0 0 & & & \\ & & $y=$ & 1 0 1 0 & & & \\ \hline $f_0$ & $f_{0000}$ && 0 0 0 0 & $()$ & $\mathrm{false}$ & $0$ \\ \hline $f_1$ & $f_{0001}$ && 0 0 0 1 & $(x)(y)$ & $\mathrm{neither}x\mathrm{nor}y$ & $\mathrm{\neg }x\wedge \mathrm{\neg }y$ \\ $f_2$ & $f_{0010}$ && 0 0 1 0 & $(x)y$ & $y\mathrm{without}x$ & $\mathrm{\neg }x\wedge y$ \\ $f_4$ & $f_{0100}$ && 0 1 0 0 & $x(y)$ & $x\mathrm{without}y$ & $x\wedge \mathrm{\neg }y$ \\ $f_8$ & $f_{1000}$ && 1 0 0 0 & $xy$ & $x\mathrm{and}y$ & $x\wedge y$ \\ \hline $f_3$ & $f_{0011}$ && 0 0 1 1 & $(x)$ & $\mathrm{not}x$ & $\mathrm{\neg }x$ \\ $f_{12}$ & $f_{1100}$ && 1 1 0 0 & $x$ & $x$ & $x$ \\ \hline $f_6$ & $f_{0110}$ && 0 1 1 0 & $(x,y)$ & $x\mathrm{not~equal~to}y$ & $x\ne y$ \\ $f_9$ & $f_{1001}$ && 1 0 0 1 & $((x,y))$ & $x\mathrm{equal~to}y$ & $x=y$ \\ \hline $f_5$ & $f_{0101}$ && 0 1 0 1 & $(y)$ & $\mathrm{not}y$ & $\mathrm{\neg }y$ \\ $f_{10}$ & $f_{1010}$ && 1 0 1 0 & $y$ & $y$ & $y$ \\ \hline $f_7$ & $f_{0111}$ && 0 1 1 1 & $(xy)$ & $\mathrm{not~both}x\mathrm{and}y$ & $\mathrm{\neg }x\vee \mathrm{\neg }y$ \\ $f_{11}$ & $f_{1011}$ && 1 0 1 1 & $(x(y))$ & $\mathrm{not}x\mathrm{without}y$ & $x\Rightarrow y$ \\ $f_{13}$ & $f_{1101}$ && 1 1 0 1 & $((x)y)$ & $\mathrm{not}y\mathrm{without}x$ & $x\Leftarrow y$ \\ $f_{14}$ & $f_{1110}$ && 1 1 1 0 & $((x)(y))$ & $x\mathrm{or}y$ & $x\vee y$ \\ \hline $f_{15}$ & $f_{1111}$ && 1 1 1 1 & $(())$ & $\mathrm{true}$ & $1$ \\ \hline

\end{tabular}

Table A3. $\mathrm{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\}$

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}

\multicolumn{6}{Table A3. $\mathrm{E}f$ Expanded Over Differential Features $\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\}$ \\ \hline & & ${\mathrm{T}}_{11}$ & ${\mathrm{T}}_{10}$ & ${\mathrm{T}}_{01}$ & ${\mathrm{T}}_{00}$ \\ & $f$ & $\mathrm{E}f{|}_{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ & $\mathrm{E}f{|}_{\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)}$ & $\mathrm{E}f{|}_{(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y}$ & $\mathrm{E}f{|}_{(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)}$ \\ \hline $f_0$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ \\ \hline $f_1$ & $(x)(y)$ & $xy$ & $x(y)$ & $(x)y$ & $(x)(y)$ \\ $f_2$ & $(x)y$ & $x(y)$ & $xy$ & $(x)(y)$ & $(x)y$ \\ $f_4$ & $x(y)$ & $(x)y$ & $(x)(y)$ & $xy$ & $x(y)$ \\ $f_8$ & $xy$ & $(x)(y)$ & $(x)y$ & $x(y)$ & $xy$ \\ \hline $f_3$ & $(x)$ & $x$ & $x$ & $(x)$ & $(x)$ \\ $f_{12}$ & $x$ & $(x)$ & $(x)$ & $x$ & $x$ \\ \hline $f_6$ & $(x,y)$ & $(x,y)$ & $((x,y))$ & $((x,y))$ & $(x,y)$ \\ $f_9$ & $((x,y))$ & $((x,y))$ & $(x,y)$ & $(x,y)$ & $((x,y))$ \\ \hline $f_5$ & $(y)$ & $y$ & $(y)$ & $y$ & $(y)$ \\ $f_{10}$ & $y$ & $(y)$ & $y$ & $(y)$ & $y$ \\ \hline $f_7$ & $(xy)$ & $((x)(y))$ & $((x)y)$ & $(x(y))$ & $(xy)$ \\ $f_{11}$ & $(x(y))$ & $((x)y)$ & $((x)(y))$ & $(xy)$ & $(x(y))$ \\ $f_{13}$ & $((x)y)$ & $(x(y))$ & $(xy)$ & $((x)(y))$ & $((x)y)$ \\ $f_{14}$ & $((x)(y))$ & $(xy)$ & $(x(y))$ & $((x)y)$ & $((x)(y))$ \\ \hline $f_{15}$ & $(())$ & $(())$ & $(())$ & $(())$ & $(())$ \\ \hline \multicolumn{2}{|c||}{Fixed Point Total:} & 4 & 4 & 4 & 16 \\ \hline

\end{tabular}

Table A4. $\mathrm{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\}$

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}

\multicolumn{6}{Table A4. $\mathrm{D}f$ Expanded Over Differential Features $\{\mathrm{d}x,\mathrm{d}y\}$ \\ \hline & $f$ & $\mathrm{D}f{|}_{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$ & $\mathrm{D}f{|}_{\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)}$ & $\mathrm{D}f{|}_{(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y}$ & $\mathrm{D}f{|}_{(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)}$ \\ \hline $f_0$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ \\ \hline $f_1$ & $(x)(y)$ & $((x,y))$ & $(y)$ & $(x)$ & $()$ \\ $f_2$ & $(x)y$ & $(x,y)$ & $y$ & $(x)$ & $()$ \\ $f_4$ & $x(y)$ & $(x,y)$ & $(y)$ & $x$ & $()$ \\ $f_8$ & $xy$ & $((x,y))$ & $y$ & $x$ & $()$ \\ \hline $f_3$ & $(x)$ & $(())$ & $(())$ & $()$ & $()$ \\ $f_{12}$ & $x$ & $(())$ & $(())$ & $()$ & $()$ \\ \hline $f_6$ & $(x,y)$ & $()$ & $(())$ & $(())$ & $()$ \\ $f_9$ & $((x,y))$ & $()$ & $(())$ & $(())$ & $()$ \\ \hline $f_5$ & $(y)$ & $(())$ & $()$ & $(())$ & $()$ \\ $f_{10}$ & $y$ & $(())$ & $()$ & $(())$ & $()$ \\ \hline $f_7$ & $(xy)$ & $((x,y))$ & $y$ & $x$ & $()$ \\ $f_{11}$ & $(x(y))$ & $(x,y)$ & $(y)$ & $x$ & $()$ \\ $f_{13}$ & $((x)y)$ & $(x,y)$ & $y$ & $(x)$ & $()$ \\ $f_{14}$ & $((x)(y))$ & $((x,y))$ & $(y)$ & $(x)$ & $()$ \\ \hline $f_{15}$ & $(())$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ \\ \hline

\end{tabular}

Table A5. $\mathrm{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{x,y\}$

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}

\multicolumn{6}{Table A5. $\mathrm{E}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{x,y\}$ \\ \hline & $f$ & $\mathrm{E}f{|}_{xy}$ & $\mathrm{E}f{|}_{x(y)}$ & $\mathrm{E}f{|}_{(x)y}$ & $\mathrm{E}f{|}_{(x)(y)}$ \\ \hline $f_0$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ \\ \hline $f_1$ & $(x)(y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)$ \\ $f_2$ & $(x)y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ \\ $f_4$ & $x(y)$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ \\ $f_8$ & $xy$ & $(\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ \\ \hline $f_3$ & $(x)$ & $\mathrm{d}x$ & $\mathrm{d}x$ & $(\mathrm{d}x)$ & $(\mathrm{d}x)$ \\ $f_{12}$ & $x$ & $(\mathrm{d}x)$ & $(\mathrm{d}x)$ & $\mathrm{d}x$ & $\mathrm{d}x$ \\ \hline $f_6$ & $(x,y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $((\mathrm{d}x,\mathrm{d}y))$ & $((\mathrm{d}x,\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ \\ $f_9$ & $((x,y))$ & $((\mathrm{d}x,\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $((\mathrm{d}x,\mathrm{d}y))$ \\ \hline $f_5$ & $(y)$ & $\mathrm{d}y$ & $(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}y$ & $(\mathrm{d}y)$ \\ $f_{10}$ & $y$ & $(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}y$ & $(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}y$ \\ \hline $f_7$ & $(xy)$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $((\mathrm{d}x)\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x(\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$ \\ $f_{11}$ & $(x(y))$ & $((\mathrm{d}x)\mathrm{d}y)$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x(\mathrm{d}y))$ \\ $f_{13}$ & $((x)y)$ & $(\mathrm{d}x(\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $((\mathrm{d}x)\mathrm{d}y)$ \\ $f_{14}$ & $((x)(y))$ & $(\mathrm{d}x\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x(\mathrm{d}y))$ & $((\mathrm{d}x)\mathrm{d}y)$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ \\ \hline $f_{15}$ & $(())$ & $(())$ & $(())$ & $(())$ & $(())$ \\ \hline

\end{tabular}

Table A6. $\mathrm{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{x,y\}$

\begin{tabular}{|c|c||c|c|c|c|}

\multicolumn{6}{Table A6. $\mathrm{D}f$ Expanded Over Ordinary Features $\{x,y\}$} \\ \hline & $f$ & $\mathrm{D}f{|}_{xy}$ & $\mathrm{D}f{|}_{x(y)}$ & $\mathrm{D}f{|}_{(x)y}$ & $\mathrm{D}f{|}_{(x)(y)}$ \\ \hline $f_0$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ \\ \hline $f_1$ & $(x)(y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ \\ $f_2$ & $(x)y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ \\ $f_4$ & $x(y)$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ \\ $f_8$ & $xy$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ \\ \hline $f_3$ & $(x)$ & $\mathrm{d}x$ & $\mathrm{d}x$ & $\mathrm{d}x$ & $\mathrm{d}x$ \\ $f_{12}$ & $x$ & $\mathrm{d}x$ & $\mathrm{d}x$ & $\mathrm{d}x$ & $\mathrm{d}x$ \\ \hline $f_6$ & $(x,y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ \\ $f_9$ & $((x,y))$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x,\mathrm{d}y)$ \\ \hline $f_5$ & $(y)$ & $\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}y$ \\ $f_{10}$ & $y$ & $\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}y$ \\ \hline $f_7$ & $(xy)$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ \\ $f_{11}$ & $(x(y))$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ \\ $f_{13}$ & $((x)y)$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ \\ $f_{14}$ & $((x)(y))$ & $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ & $\mathrm{d}x(\mathrm{d}y)$ & $(\mathrm{d}x)\mathrm{d}y$ & $((\mathrm{d}x)(\mathrm{d}y))$ \\ \hline $f_{15}$ & $(())$ & $()$ & $()$ & $()$ & $()$ \\ \hline

\end{tabular}