Draft:PC-Praktikum/TKP

Einsatzmöglichkeiten (in der Schule)

• Erstellen von Wertetabellen
• Erstellen von Diagrammen
• Implementation nummerischer Verfahren
• Statistische Auswertungen
• Taschenrechnerersatz (Einfache Rechnungen)
• Stochastische Experimente

Darf sehr gerne erweitert werden!

Einführung

Achtung: vorgestellte Befehle können je nach Betriebssystem und eingestellter Sprache abweichen!

Libre Office Calc besitzt (wie auch andere TKP) Arbeitsblätter (Auswahl links unten) mit Zellen, welche durch die Bezeichnung der Zeile und Spalte eindeutig definiert ist. Z.B. Zelle A1 liegt in Spalte A und Zeile 1. Viele Befehle, zum Beispiel für die Formatierung und zum Sortieren, sind direkt in den Befehlsleiten oben zu finden. Auch gibt es dort eine Eingabezeile, welche sich immer auf die angewählte Zelle bezieht. Vor dieser gibt es das Feld des Funktionsassistenten. Dieser bietet eine Vielahl an (mathematischen) Funktionen und eine Beschreibung, was die jeweilige Funktion tut. Kennt man einen Befehl und gib diesen in die Eingabezeile an, so wird dieser automatisch mit dem ersten passenden Befehl inklusive Hinweis, welche Angaben benötigt werden, eingeblendet. Neben Befehlen können in die Zellen auch Wörter und Zahlen eingegeben werden mit unterschiedlichen Charakteristischen Eigenschaften. Befehle (wie auch Bezüge) beginnen immer mit einem "=":

• Gibt man zum Beispiel in die Zelle B2 "=A1" an, so gibt die Zelle B2 den gleichen Wert aus wie A1 hat.
• Gibt man zum Beispiel in die Zelle B2 "=A1+A2" ein, so gibt B2 die Summe der Werte aus A1 und A2 an.
• Gibt man zum Beispiel in die Zelle B2 "=Summe(A1,A5)" an, so wird ebenfalls die Summe aus den Zellen A1 und A5 gebildet.
• Gibt man hingegen zum Beispiel in die Zelle B2 "=Summe(A1:A5)" ein, so wird die Summe über die Zellen A1 BIS A5 gebildet, d.h. A1 + A2 + A3 + A4 + A5.

Befehle, die über einen bloßen Bezug hinaus gehen, können im Allgemeinen nicht auf jeden Zelleninhalt durchgeführt werden, so können zum Beispiel Wörter nicht addiert werden.

• Wird eine Formel mit Bezügen in eine andere Zelle verschoben oder kopiert, so werden die Bezüge automatisch angepasst. Steht zum Beispiel in B1 "=Summe(A1:A5)" und wird nach B2 verschoben, steht dort "=Summe(A2:A6)". Wird die Zelle B1 alternativ nach C1 verschoben, so steht dort dann "=Summe(B1:B5)". Durch ein "$"-Zeichen vor der Zeilen- bzw. Spaltenbezeichnung wird wird diese fixiert, d.h. sie ändert sich beim verschieben/kopieren nicht. Durch das Anwählen einer Zelle und ziehen der rechten unteren Ecke kann die Formel auch gleichzeitig auf mehrere zusammenhängende Zelle verschoben/ausgeweitet werden.
• Ein Sortieren der Daten ist möglich, zum Beispiel über den Button in der Aktionsleiste oben "aufsteigend sortieren"/ "absteigend sortieren".

Fachliche Inhalte für die kommenden Aufgaben

Befehle aus der Statistik (in () stehen die Zellen, auf welche sich die Befehle beziehen):

• Arithmetischer Mittelwert: "=Mittelwert()" $\overline{x}=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{x}_j$
• korrigierte Stichprobenvarianz: "=Varianz()" $s_x^2=\frac{1}{n-1}\cdot \sum _{j=1}^n(x_j-\overline{x}{)}^2$
• Standardabweichung: "=Stabw()" $s_x=\sqrt{s_x^2}$

Wiederholung Matrizenmultiplikation aus der Linearen Algerba (Modul 2):

Sei $A=(a_{ij})$ eine $m\times n$-Matrix über $ℝ$ und $B=(b_{jk})$ eine $n\times s$-Matrix über $ℝ$. Die Anzahl $n$ der Spalten von $A$ ist also gleich der Anzahl der Zeilen von $B.$ Dann wird das Produkt der Matrizen $C:=A\cdot B$ folgendermaßen definiert:

$C\in Mat(m\times s,ℝ)$ und für $i\in \{1,\dots ,m\},k\in \{1,\dots ,s\}$ gilt

$c_{ik}:=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot b_{jk}$

Wiederholung nummerischer Verfahren aus der Praktischen Mathematik (Modul 6.1 + 6.2)

• Newtonverfahren zur Bestimmung von Nullstellen
• Heron-Verfahren zur Bestimmung der quadratischen Wurzel

Aufgaben

Quadrieren und Wurzel

Erstellen Sie mittels eines TKP eine Übersicht darüber, nach wie vielen Wurzelziehen und wieder Quadrieren ein Fehler auftritt. Berücksichtigen Sie dabei, dass die Zahl, aus welcher die Wurzel gezogen werden soll, veränderbar sein darf (farblich markiert).

Matrixmultiplikation

Erstellen Sie ein Sheet zum Bestimmen der Multiplikation von $3\times 3$-Matrizen.

Trinkgeld

Verwenden Sie den Datensatz "Trinkgeld" von GitHub, und bestimmen Sie das arithmetische Mittel, die (empirischen) Varianzen und (empirischen) Standardabweichungen des Rechnungsbetrages bzw. des Trinkgeldes zum Einen mittels der vorgestellten Funktionen und zum Anderen nur mit den Funktionen Summe, Zählen, Wurzel, sowie Addition, Subtraktion, Division und Multiplikation verwenden.

Welche Aussagen hinsichtlich des Trinkgeldes können Sie (unter Vorbehalt - warum?) treffen?

Diagramme

Mit TKPs können Diagramme erstellt werden. Ziel von Diagrammen ist zumeist, einen komplexen Zusammenhand oder große Datenmengen übersichtlich darzustellen, sodass die Hauptinformationen sschnell entnommen werden können. Dafür müssen die Daten, welche dargestellt werden sollen, angewählt werden und auf das Feld des Diagrammassistentens im der Werkzeugleiste geklickt werden. Dann öffnet sich ein Menü, welches Schritt für Schritt durchgeklickt wird wie Diagrammart, Datenbereich, Datenreihe und Diagrammelemente. Eine vorschau des Diagramms ist direkt im Hintergrund zu sehen.

Es ist wichtig, die Diagramme so zu gestalten, dass die Art des Diagramms zu den Daten und dem Zweck des Diagramms passt sowie die einzelnen Diagrammelemente.

Einige gängige Diagrammarten sind:

• Balken- bzw. Säulendiagramme
• Kreis- oder Kuchendiagramme
• Liniendiagramme
• Punktwolken

Zu einem Diagramm gehören:

• Abbildung selbst
• Titel
• Achsen- bzw. Segmentbeschriftung, ggf. weitere Beschriftungen

Aufgabe

Diagramm und Trinkgeld

Stellen Sie den durchschnittlichen Rechnungsbetrag pro Wochentag auf der Grundlage der Daten der Datei "Trinkgeld" in einem Balken- oder Säulendiagramm dar.

Zufallszahlen

Mit dem Befehl "=Zufallszahl()" können zufällige Zahlen aus dem Intervall $[0,1[$ generiert werden. Ähnlich ist der Befehl "=Zufallsbereich(x,y)", welcher eine zufällige Zahl aus dem Intervall $[x,y[$ mit $x,y\in ℝ$ ausgibt. Möchte man zum Beispiel Zufallszahlen, die aus $\mathbb{N}$ stammen, so können die Befehle "=Runden(Zufallszahl(x,y))" bzw. "=Abrunden(Zufallszahl(x,y))" diese generieren, man erhält dann die Mengen $\{x,\dots ,y\}$ bzw. $\{x,\dots ,y-1\}$.

Wenn-Bedingungen

"=Wenn(x;y;z)" fragt ab, ob eine Bedingung $x$ wie zum Beispiel A2 < 1 erfüllt ist, gibt aus, was dann getan werden soll ($y$, wie zum Beispiel $0$ ausgeben), und was ausgegeben werden soll, wenn die Bedingung $x$ nicht erfüllt ist ($z$, wie zum Beispiel den Wert $1$ ausgeben). Also prüft "=Wenn(A2 <1;0;1)", ob der Inhalt der Zelle A2 kleiner als $1$ ist und gibt, falls dies erfüllt ist, den Wert $0$ aus und wenn nicht den Wert $1$. Es können auch nicht-nummerische Werte geprüft oder ausgegeben werden, diese müssen jedoch in Anführungszeichen stehen.

Wenn in einem bestimmten Bereich[z.B. von A2 bis A17) gezählt werden soll, wie häufig z.B. der Wert $3$ auftritt, so kann dies mit dem obigen Befehl für jede Zelle einzeln überprüft werden("=Wenn(3;1;0)") und dann die Summe der Einsen gebildet werden. Diese gibt dann die Anzahl aus. Dies ist jedoch mit etwas Aufwand verbunden und kann auch schneller gehen, nämlich mit dem Befehl "=Zählenwenn(A2:A17;3)", wobei der erste Teil des Befehls den Bereich angibt, welcher überprüft werden soll und der zweite Teil das entsprechende Kriterium. Dieser Befehl muss auch nur in einer Zelle verwendet werden.

Aufgaben

Würfelwurf

Simulieren Sie $20$ Würfe mit einem $6$-seitigen Würfel. Erstellen Sie zur besseren Veranschaulichung eine Tabelle, die die absoluten Häufigkeiten der einzelnen Ereignisse angibt. Stellen Sie abschließend die absoluten Häufigkeiten in einem Säulen- und Balkendiagramm dar.

Monte-Carlo-Simulation

Schätzen Sie mittels einer selbsterstellen Monte-Carlo-Simulation ($500$ und $1000$ Punkte $\to$ Unterschied) $\pi$.

Wertetabellen

Wertetabellen für die Schule können mithilfe des Diagrammassistenten erstellt werden. Hierfür eignet sich als Diagrammtyp ein Liniendiagramm mit der Kurvenoption. Zuvor müssen die $x$-Werte angegeben und die $f(x)$-Werte bestimmt werden. Über diese Datenreihe wird dann das "Diagramm", also der Funktionsgraph erstellt.

Aufgaben

Nutzen Sie für die nummerischen Verfahren den Befehl "=Abs()", um den Betrag eines Argumentes zu erhalten.

Wertetabelle und Funktionsgraphen

Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion $f(x)=x^2-3x+2$ im Definitionsbereich $-10,-9,...,9,10$ und plotten Sie den Funktionsgraphen.

Newton-Verfahren

Erstellen Sie ein Tabellenblatt zur Berechnung der Nullstelle(n) der Funktion/en mit Funktionsvorschriften $f(x)=x^2-3$ und $g(x)=x^3-4$ mit einer Genauigkeit von $ϵ=0,001$.

Heron-Verfahren

Erstellen Sie ein Tabellenblatt, welches mittels des Heron-Verfahrens die Wurzel beliebiger $a\in {ℝ}^{+}$ bestimmt.

Gradientenabstiegsverfahren

Bestimmen Sie mit dem Gradientenverfahren ein mögliches Minimum für die Funktion $f(x,y)=(x-2{)}^2+y^2$. Wiederholen Sie dafür auch den Begriff der partiellen Ableitung.